https://nghialagi.org/so-nguyen-to-la-gi/
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 không thể được hình thành bằng cách nhân hai số tự nhiên nhỏ hơn. Số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số. Ví dụ: 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích, 1 × 5 hoặc 5 × 1, có số hạng là chính số 5. Tuy nhiên, 6 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 × 3) đều nhỏ hơn 6. Các số nguyên tố là trung tâm trong lý thuyết số vì định lý cơ bản của số học: mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều là số nguyên tố hoặc có thể được phân tích nhân tử thành tích của các số nguyên tố mà là duy nhất theo thứ tự của chúng.
Một phương pháp đơn giản nhưng chậm để kiểm tra một số n đã cho có phải là số nguyên tố hay không, được gọi là phép chia thử nghiệm, kiểm tra xem n có là bội số của bất kỳ số nguyên nào giữa 2 và {\displaystyle {\sqrt {n}}}{\displaystyle {\sqrt {n}}}. Các thuật toán nhanh hơn bao gồm kiểm tra Miller–Rabin, tuy nhanh nhưng có khả năng xảy ra lỗi nhỏ và phép kiểm tra tính nguyên tố AKS, mà luôn tạo ra câu trả lời đúng trong thời gian bậc đa thức của thời gian nhưng quá chậm để áp dụng trong thực tế. Phương pháp đặc biệt nhanh có sẵn cho số lượng các dạng nguyên tố đặc biệt, chẳng hạn như các số nguyen tố Mersenne. Tính đến tháng 12 năm 2018 số nguyên tố lớn nhất được biết có 23 249 425 chữ số.
Có vô số số nguyên tố, được Euclid chứng minh vào khoảng năm 300 TCN. Không có công thức đơn giản được biết đến để tách các số nguyên tố từ hợp số. Tuy nhiên, sự phân bố các số nguyên tố trong các số tự nhiên có thể được mô hình hóa theo thống kê. Kết quả đầu tiên theo hướng đó là định lý số nguyên tố, được chứng minh vào cuối thế kỷ 19, nói rằng xác suất của một số được chọn ngẫu nhiên là số nguyên tố tỷ lệ nghịch với số chữ số của nó, nghĩa là với logarit của nó.
Một số câu hỏi lịch sử liên quan đến số nguyên tố vẫn chưa được giải quyết. Chúng bao gồm giả thuyết của Goldbach, rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố và phỏng đoán nguyên tố sinh đôi, rằng có vô số cặp số nguyên tố chỉ có một số chẵn giữa chúng. Những câu hỏi như vậy đã thúc đẩy sự phát triển của các nhánh khác nhau của lý thuyết số, tập trung vào các khía cạnh phân tích hoặc đại số của các con số. Các số nguyên tố được sử dụng trong một số quy trình trong công nghệ thông tin, chẳng hạn như mật mã khóa công khai, dựa trên khó khăn trong việc phân tích các số nguyên lớn thành các nhân tử của chúng. Trong đại số trừu tượng, các đối tượng hành xử theo cách tổng quát như số nguyên tố bao gồm các phần tử nguyên tố và ideal nguyên tố.
Mục lục
1 Danh sách
2 Tính chất
3 Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene
3.1 Sàng Eratosthene
4 Định lý cơ bản của số học
5 Số nguyên tố Fermat và Mersenne
6 Sự tồn tại của số nguyên tố lớn nhất
7 Giả thiết Goldbach - Euler
8 Chú thích
9 Xem thêm
10 Liên kết ngoài
Danh sách
Bài chi tiết: Danh sách số nguyên tố
Các số nguyên tố từ 2 đến 100:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.[1]
Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất, và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất. Thật vậy, nếu tồn tại một số nguyên tố chẵn khác, gọi là {\displaystyle p\;\;(p>2)}{\displaystyle p\;\;(p>2)}, thì ta sẽ có {\displaystyle 2\mid p}{\displaystyle 2\mid p}, theo định nghĩa số chẵn. Rõ ràng 1,2,p là các số đôi một phân biệt nên p phải có ít nhất ba ước số, đó là 1,2,p, mâu thuẫn.
Tính chất
Ký hiệu "{\displaystyle b\mid a}{\displaystyle b\mid a}" nghĩa là {\displaystyle b}{\displaystyle b} là ước của {\displaystyle a}{\displaystyle a}.
- Ước tự nhiên khác {\displaystyle 1}1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố.
Chứng minh: Giả sử {\displaystyle d\mid a}{\displaystyle d\mid a}; {\displaystyle d}{\displaystyle d} nhỏ nhất; {\displaystyle d\neq 1}{\displaystyle d\neq 1}.
Nếu {\displaystyle d}{\displaystyle d} không nguyên tố {\displaystyle \Rightarrow d=d{1}d{2};\;d{1},d{2}>1.}{\displaystyle \Rightarrow d=d{1}d{2};\;d{1},d{2}>1.}
{\displaystyle \Rightarrow d{1}\mid a}{\displaystyle \Rightarrow d{1}\mid a} với {\displaystyle d{1}<d}{\displaystyle d{1}<d}: mâu thuẫn với {\displaystyle d}{\displaystyle d} nhỏ nhất. Vậy {\displaystyle d}{\displaystyle d} là nguyên tố.
- Cho {\displaystyle p}p là số nguyên tố; {\displaystyle a\in \mathbb {N} ;a\neq 0}{\displaystyle a\in \mathbb {N} ;a\neq 0}. Khi đó
{\displaystyle (a,p)=p\Leftrightarrow p\mid a}{\displaystyle (a,p)=p\Leftrightarrow p\mid a}
{\displaystyle (a,p)=1\Leftrightarrow p\not \mid a}{\displaystyle (a,p)=1\Leftrightarrow p\not \mid a}
3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố {\displaystyle p}p thì có ít nhất một thừa số chia hết cho {\displaystyle p}p.
Hình minh họa cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số nguyên tố và các bội số
Các số tô màu giống nhau là cùng một họ mà dẫn đầu (đậm hơn) sẽ là số nguyên tố
{\displaystyle p\mid \prod {i=1}^{N}a{i}\Rightarrow (\exists a{i}\Rightarrow p\mid a{i})}{\displaystyle p\mid \prod {i=1}^{N}a{i}\Rightarrow (\exists a{i}\Rightarrow p\mid a{i})}
4. Ước số dương bé nhất khác {\displaystyle 1}1 của một hợp số {\displaystyle a}{\displaystyle a} là một số nguyên tố không vượt quá {\displaystyle {\sqrt {a}}}{\displaystyle {\sqrt {a}}}
{\displaystyle 2}{\displaystyle 2} là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất
Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (tương đương với việc không có số nguyên tố lớn nhất).
Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 <... < pn
Xét a = p1.p2.... pn+1
Ta có: a > 1 và a khác pi với mọi i từ 1 đến n => a là hợp số => a có ước nguyên tố pi hay a chia hết cho pi, mà p1p2...pn chia hết chi pi => 1 chia hết cho pi, mâu thuẫn vì pi là số nguyên tố.
Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene
Sàng Eratosthene
Bài chi tiết: Sàng Eratosthenes
Sàng Eratosthenes là một giải thuật cổ xưa để lập bảng tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn một số {\displaystyle n}{\displaystyle n} cho trước. Giải thuật dựa trên tính chất: mọi hợp số {\displaystyle n}{\displaystyle n} đều có ước nguyên tố không vượt quá căn của chính nó ({\displaystyle {\sqrt {n}}}{\displaystyle {\sqrt {n}}}). Giải thuật đầu tiên xóa số 1 ra khỏi tập các số nguyên tố. Số tiếp theo số 1 là số 2, là số nguyên tố. Bắt đầu từ số 2 xoá tất cả các bội của 2 ra khỏi bảng. Số đầu tiên không bị xoá sau số 2 (số 3) là số nguyên tố. Tiếp theo lại xoá các bội của 3... Giải thuật tiếp tục cho đến khi găp số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng sqrt(n) thì dừng lại. Tất cả các số chưa bị xoá là số nguyên tố. Theo ngôn ngữ thuật toán ta có thể diễn đạt giải thuật sàng Eratosthene như sau:
https://en.clubcooee.com/users/view/nghialagiorg
http://www.acapela.tv/en/my-account/show/nghialagiorg/
https://mru.org/users/151877
https://bibliocrunch.com/profile/nghialagiorg/
http://recipes.mentaframework.org/user/profile/67299.page
https://answers.microsoft.com/en-us/profile/ed9f857f-8afb-4dae-a59d-24eb65e4c3ec
https://able2know.org/user/nghialagiorg/
https://bandcamp.com/nghialagiorg
http://nghialagiorg.bravesites.com/
https://nghialagiorg.yolasite.com/
https://nghialagiorg.livejournal.com/profile
http://unicube.net/forums/users/nghialagiorg/
https://www.shapeways.com/designer/nghialagiorg
https://letterboxd.com/nghialagiorg/
https://community.plus.net/t5/user/viewprofilepage/user-id/77926
http://www.abstractfonts.com/members/1085129
https://community.act.com/t5/user/viewprofilepage/user-id/71376
https://community.boostmobile.com/t5/user/viewprofilepage/user-id/101468
